Die kurze Antwort lautet: Beide Schreibweisen sind korrekt. Der Unterschied liegt nicht bei richtig oder falsch, sondern darin, welche Variante des Englischen du verwendest.
Im britischen Englisch schreibt man meistens:
travelling
Im amerikanischen Englisch schreibt man meistens:
traveling
Warum gibt es zwei Schreibweisen?
Das bedeutet, dass die Schreibweise von der Zielgruppe, dem Kontext und dem Sprachstandard abhängt, dem du folgen möchtest.
Das Wort kommt vom Verb travel, das reisen bedeutet. Wenn man die Endung ing hinzufügt, stellt sich die Frage, ob der Buchstabe l verdoppelt werden soll oder nicht.
Im britischen Englisch ist es üblich, das l in solchen Wörtern zu verdoppeln:
travel wird zu travelling
cancel wird zu cancelling
label wird zu labelling
Im amerikanischen Englisch vereinfacht man die Schreibweise häufig und verwendet nur ein l:
travel wird zu traveling
cancel wird zu canceling
label wird zu labeling
Derselbe Unterschied zeigt sich auch in der Vergangenheitsform:
Britisches Englisch: travelled
Amerikanisches Englisch: traveled
Welche Schreibweise solltest du wählen?
Das hängt davon ab, für wen du schreibst.
Wenn du für ein britisches, europäisches oder internationales Publikum schreibst, ist travelling oft eine sichere Wahl. Das ist die Schreibweise, die im britischen Englisch verwendet wird, und sie wirkt in vielen internationalen Zusammenhängen natürlich.
Wenn du dagegen für ein amerikanisches Publikum schreibst, solltest du traveling verwenden. Das ist die Standardschreibweise im amerikanischen Englisch und wirkt für Leserinnen und Leser in den USA am natürlichsten.
Am wichtigsten ist, konsequent zu sein. Mische nicht britische und amerikanische Schreibweisen im selben Text. Wähle eine Variante und bleibe dabei.
Beispiele in Sätzen
Britisches Englisch:
I love travelling during the summer.
Amerikanisches Englisch:
I love traveling during the summer.
Beide Sätze bedeuten genau dasselbe:
Ich reise im Sommer gern.