A resposta curta é que as duas grafias estão corretas. A diferença não tem a ver com certo ou errado, mas com a variante do inglês que você usa.
No inglês britânico, geralmente se escreve:
travelling
No inglês americano, geralmente se escreve:
traveling
Por que existem duas grafias?
Isso significa que a grafia depende do público, do contexto e do padrão linguístico que você quer seguir.
A palavra vem do verbo travel, que significa viajar. Quando se acrescenta a terminação ing, surge a dúvida sobre se a letra l deve ser duplicada ou não.
No inglês britânico, é comum duplicar a letra l em palavras como estas:
travel vira travelling
cancel vira cancelling
label vira labelling
No inglês americano, a grafia costuma ser simplificada e se usa apenas uma letra l:
travel vira traveling
cancel vira canceling
label vira labeling
A mesma diferença também aparece no passado:
Inglês britânico: travelled
Inglês americano: traveled
Qual grafia você deve escolher?
Isso depende de para quem você está escrevendo.
Se você escreve para um público britânico, europeu ou internacional, travelling costuma ser uma escolha segura. Essa é a grafia usada no inglês britânico e soa natural em muitos contextos internacionais.
Por outro lado, se você escreve para um público americano, deve usar traveling. Essa é a grafia padrão no inglês americano e parece mais natural para leitores dos Estados Unidos.
O mais importante é ser consistente. Não misture grafias britânicas e americanas no mesmo texto. Escolha uma variante e mantenha essa escolha.
Exemplos em frases
Inglês britânico:
I love travelling during the summer.
Inglês americano:
I love traveling during the summer.
As duas frases significam exatamente a mesma coisa:
Eu adoro viajar durante o verão.